Question

【題目】某種規格的矩形瓷磚根據長期檢測結果，各廠生產的每片瓷磚質量都服從正態分布，并把質量在之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品．

（Ⅰ）從甲陶瓷廠生產的該規格瓷磚中抽取10片進行檢查，求至少有1片是廢品的概率；

（Ⅱ）若規定該規格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計算方式為：設矩形瓷磚的長與寬分別為、，則“尺寸誤差”為，按行業生產標準，其中“優等”、“一級”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是，、，、，（正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于的瓷磚），每片價格分別為7.5元、6.5元、5.0元．現分別從甲、乙兩廠生產的該規格的正品瓷磚中隨機抽取100片瓷磚，相應的“尺寸誤差”組成的樣本數據如下：

尺寸誤差	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
頻數	10	30	30	5	10	5	10

（甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數表）用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．

（ⅰ）記甲廠該種規格的2片正品瓷磚賣出的錢數為（元，求的分布列及數學期望．

（ⅱ）由如圖可知，乙廠生產的該規格的正品瓷磚只有“優等”、“一級”兩種，求5片該規格的正品瓷磚賣出的錢數不少于36元的概率．

附：若隨機變量服從正態分布，則；，，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）詳見解析（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先計算出這10片質量全都在之內（即沒有廢品）的概率，再用1減之。

（Ⅱ）（ⅰ）用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，由圖得到得該廠生產的一片正品瓷磚為“優等”、“一級”、“合格”的概率分別為0.7、0.2、0.1；再計算出其分布列與期望即可。

（ⅱ）若5片中有片“優等”品，則，得到，則取4或5；再計算即可得出答案。

（Ⅰ）由正態分布可知，抽取的一片瓷磚的質量在之內的概率為0.9974，則這10片質量全都在之內（即沒有廢品）的概率為；

則這10片中至少有1片是廢品的概率為；

（Ⅱ）（ⅰ）由已知數據，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，

得該廠生產的一片正品瓷磚為“優等”、“一級”、“合格”的概率分別為0.7、0.2、0.1；

則的可能取值為15，14，12.5，13，11.5，10元；

計算，

，

，

，

，

，

得到的分布列如下：

	15	14	13	12.5	11.5	10
	0.49	0.28	0.04	0.14	0.04	0.01

數學期望為

（元；

（ⅱ）設乙陶瓷廠5片該規格的正品瓷磚中有片“優等”品，則有片“一級”品，

由已知，解得，則取4或5；

故所求的概率為

．