Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線與軸交點為，經過點的直線與曲線交于，兩點，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線：.的直角坐標方程為.（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）根據曲線的參數方程，平方相加，即可求得曲線普通方程，再根據極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，即可得到直線的直角坐標方程．

（Ⅱ）設過點的直線方程為（為參數），代入曲線的普通方程，根據參數的幾何意義，即可求解．

（Ⅰ）由題意，可得，

化簡得曲線：.

直線的極坐標方程展開為，

故的直角坐標方程為.

（Ⅱ）顯然的坐標為，不妨設過點的直線方程為（為參數），

代入：得，

所以為定值.