Question

【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中，垂直平分，垂足為，是面積為的等邊三角形，，，平面，垂足為，為線段的中點．

（1）證明：平面；

（2）求與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）要證線面垂直，一般先證線線垂直，這可由和是等邊三角形及O是AB中點易得；

（2）要求直線與平面所成的角，一種方法作出線面角的平面角，然后解三角形得結論，也可建立空間直角坐標系，如解析中的坐標系，寫出各點坐標，求出直線的方向向量與平面的法向量，由方向向量與法向量的夾角與直線和平面所成角互余可得．

試題解析：

（1）證明：∵垂直平分，垂足為，∴.

∵，∴是等邊三角形.

又是等邊三角形.

∴是中點，，.

∵，，平面，∴平面.

（2）解：由（1）知，平面平面.

因為平面與平面的交線為.

∵平面.∴.

又等邊面積為，∴

又，∴ 是中點.

如圖建立空間直角坐標系，

，，，

所以，，

設平面的法向量為，則

，取，則，.

即平面的一個法向量為.

所以與平面所成角的正弦值為.