Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析

(2) B-CD-C1的余弦值為

(3)證明過程見解析

【解析】分析：（1）由等腰三角形性質得，由線面垂直性質得,由三棱柱性質可得，因此，最后根據線面垂直判定定理得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系E-ABF，設立各點坐標，利用方程組解得平面BCD一個法向量，根據向量數量積求得兩法向量夾角，再根據二面角與法向量夾角相等或互補關系求結果，（3）根據平面BCD一個法向量與直線FG方向向量數量積不為零，可得結論.

詳解：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，

∵CC1⊥平面ABC，

∴四邊形A1ACC1為矩形．

又E，F分別為AC，A1C1的中點，

∴AC⊥EF．

∵AB=BC．

∴AC⊥BE，

∴AC⊥平面BEF．

（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．

∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．

如圖建立空間直角坐稱系E-xyz．

由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．

∴，

設平面BCD的法向量為，

∴，∴，

令a=2，則b=-1，c=-4，

∴平面BCD的法向量，

又∵平面CDC1的法向量為，

∴．

由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為．

（Ⅲ）平面BCD的法向量為，∵G（0，2，1），F（0，0，2），

∴，∴，∴與不垂直，

∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內，∴GF與平面BCD相交．