Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點F在直線上。

（Ⅰ）求拋物線C的方程。

（Ⅱ）過點做互相垂直的兩條直線與曲線C交于A，B兩點，與曲線C交于E,F兩點，線段AB、EF的中點分別為M、N，求證：直線MN過定點P，并求出定點P的坐標。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）直線過定點，其坐標為.

【解析】

（Ⅰ）由拋物線的焦點在直線上，求得焦點的坐標，進而得出，即可求解拋物線的標準方程；

（Ⅱ）設直線的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系，求解點的坐標，分類討論，即可求解.

（Ⅰ）拋物線的焦點在直線上，

為， 即，

拋物線的方程為．

（Ⅱ）易知直線，的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，，，

則直線：，，

由得，

，

∴，，

∴．同理得．

當或時，直線的方程為；

當且時，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點，其坐標為．