Question

【題目】橢圓經過為坐標原點，線段的中點在圓上.

（1）求的方程；

（2）直線不過曲線的右焦點，與交于兩點，且與圓相切，切點在第一象限， 的周長是否為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由題意，可得： ，從而得到的方程；

（2）依題意可設直線，由直線與圓相切，且切點的第一象限，可得，將直線與橢圓方程聯立可得，利用韋達定理表示，同時表示，同理，從而易得周長為定值.

試題解析：

（1）由題意得，

由題意得， 的中點在圓上，

所以，得，

所以橢圓方程為.

（2）依題意可設直線，

因為直線與圓相切，且切點的第一象限，

所以，且有，

設，將直線與橢圓方程聯立

可得， ， ，且

，

因為，故，

另一方面

，

化簡得，同理，可得，

由此可得的周長，

故的周長為定值.