Question

【題目】如圖，邊長為的正方形與梯形所在的平面互相垂直，已知，，，點在線段上.

（1）證明：平面平面；

（2）判斷點的位置，使得平面與平面所成的銳二面角為.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）點在線段的靠近點的三等分點處.

【解析】

（1）先由題中數據，根據勾股定理，得到，再由面面垂直的性質定理，得到，根據線面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先在面內過點作，垂足為，根據題意，得到；，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，因為點在線段上，所以可設，得到，再分別求出平面與平面的一個法向量，根據向量夾角公式，以及題中條件，即可求出結果.

（1）因為底面為梯形，，，所以，

又，所以，

因為，正方形邊長為，

所以，因此，

又因為平面平面，，平面平面，

所以平面，因此，

又，所以平面；

因為平面，所以平面平面；

（2）在面內過點作，垂足為，因為，所以；

又因為平面，所以；

以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

設，因為點在線段上，所以可設，

即，

所以，即，

設平面的一個法向量為，

則，所以，令，則，

又易知：平面，所以為平面的一個法向量，

所以，

解得：，所以，

即，點點在線段的靠近點的三等分點處.