Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為 為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線，的公共點為.

（Ⅰ）求直線的斜率；

（Ⅱ）若點分別為曲線，上的動點，當取最大值時，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）消去參數α得曲線C1的普通方程，將曲線C2化為直角坐標方程，兩式作差得直線AB的方程，則直線AB的斜率可求；

（Ⅱ）由C1方程可知曲線是以C1（0，1）為圓心，半徑為1的圓，由C2方程可知曲線是以C2（2，0）為圓心，半徑為2的圓，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知當|CD|取最大值時，圓心C1，C2在直線AB上，進一步求出直線CD（即直線C1C2）的方程，再求出O到直線CD的距離，則四邊形ACBD的面積可求．

（Ⅰ）消去參數α得曲線C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0．…（1）

將曲線C2：ρ=4cosθ化為直角坐標方程得x2+y2﹣4x=0．…（2）

由（1）﹣（2）化簡得y=2x，即為直線AB的方程，故直線AB的斜率為2；

（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲線C1是以C1（0，1）為圓心，半徑為1的圓，

由C2：x2+y2﹣4x=0知曲線C2：是以C2（2，0）為圓心，半徑為2的圓．

∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，

∴當|CD|取最大值時，圓心C1，C2在直線CD上，

∴直線CD（即直線C1C2）的方程為：2x+y=2．

∵O到直線CD的距離為，即|AB|=

又此時|CD|=|C1C2|+1+2=3+，

∴四邊形ACBD的面積．