Question

【題目】對于數列，定義“變換”：將數列變換成數列，其中，且，這種“變換”記作.繼續對數列進行“變換”，得到數列，依此類推，當得到的數列各項均為時變換結束．

（1）試問和經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數列；若不能，說明理由；

（2）求經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件；

（3）證明：一定能經過有限次“變換”后結束．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據定義，可得不能結束，數列能結束，并可寫出數列；（2）經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件，先證明，則經過一次“變換”，就得到數列，從而結束，再證明命題“若數列為常數列，則為常數列”， 即可得解；（3）先證明引理：“將數的最大項一定不大于數列的最大項，其中

” ，再分類討論：第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰，（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，，第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時，證明第二類數列經過有限次“變換”，一定可以得到第一類數列.

（1）數列不能結束，各數列依次為；；；；；；…．從而以下重復出現，不會出現所有項均為的情形．

數列能結束，各數列依次為；；；．

（2）解：經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．

若，則經過一次“變換”就得到數列，從而結束．

當數列經過有限次“變換”后能夠結束時，先證命題“若數列為常數列，則為常數列”．

當時，數列．

由數列為常數列得，解得，從而數列也為常數列．

其它情形同理，得證．

在數列經過有限次“變換”后結束時，得到數列(常數列)，由以上命題，它變換之前的數列也為常數列，可知數列也為常數列．

所以，數列經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．

（3）證明：先證明引理：“數列的最大項一定不大于數列的最大項，其中”．

證明：記數列中最大項為，則．

令，，其中．

因為， 所以，

故，證畢．

現將數列分為兩類．

第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，．

第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時．

下面證明第二類數列經過有限次“變換”，一定可以得到第一類數列．

不妨令數列的第一項為，第二項最大()．（其它情形同理）

①當數列中只有一項為時，

若()，則，此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列；

若，則；此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列；

若()，則，此數列各項均不為，為第一類數列；

若，則；；，

此數列各項均不為，為第一類數列．

②當數列中有兩項為時，若()，則，此數列各項均不為，為第一類數列；

若()，則，，此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列．

③當數列中有三項為時，只能是，則，

，，此數列各項均不為，為第一類數列．

總之，第二類數列至多經過次“變換”，就會得到第一類數列，即至多連續經歷次“變換”，數列的最大項又開始減少．

又因為各數列的最大項是非負整數，

故經過有限次“變換”后，數列的最大項一定會為，此時數列的各項均為，從而結束．