Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),,過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）求的取值范圍;

（3）設(shè)直線和直線的斜率分別為和,求證:為定值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.（3）證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，結(jié)合已知條件，聯(lián)立方程組即可求得；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的函數(shù)，根據(jù)的取值范圍，求函數(shù)的值域即可；

（2）由（2）中所求韋達(dá)定理，將和表示出來，整理化簡即可求證.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，故可得，

又因?yàn)?/span>，

聯(lián)立方程組解得，

故橢圓方程為.

（2）根據(jù)題意，直線的斜率一定存在，

故可設(shè)直線方程為，

聯(lián)立橢圓方程，

可得，

則，

解得

設(shè)坐標(biāo)為，

故可得，

故

.

又因?yàn)?/span>，故可得，

故可得.

即的取值范圍為.

（3）因?yàn)?/span>

.

故為定值.即證.