Question

如圖，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
（Ⅰ）求異面直線AD₁與BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，先求出AB，可得

BD

=(-

3

，3，0)，而

AD1

=(0，3，3)，利用向量的夾角公式，即可求異面直線AD₁與BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面ACD₁的一個法向量，利用向量的夾角公式，求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，AB，AD，AA₁兩兩垂直．如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
設AB=t，則相關各點的坐標為：A（0，0，0），B（t，0，0），B₁（t，0，3），C（t，1，0），C₁（t，1，3），D（0，3，0），D₁（0，3，3）．
從而

B1D

=（-t，3，-3），

AC

=（t，1，0），

BD

=（-t，3，0）．
因為AC⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t²+3+0=0．
解得t=

3

或t=-

3

（舍去）．
所以

BD

=(-

3

，3，0)，而

AD1

=(0，3，3)，
所以cos?

BD

，

AD1

＞=

BD • AD1

| BD |•| AD1 |

=

9

2 3 ×3 2

=

6

4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

AD1

=（0，3，3），

AC

=（

3

，1，0），

B1C1

=（0，1，0）．
設

n

=（x，y，z）是平面ACD₁的一個法向量，則

3 x+y=0 3y+3z=0

令x=1，則

n

=（1，-

3

，

3

）．
設直線B₁C₁與平面ACD₁所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

n

，

B1C1

＞|=

3

7

=

21

7

．
即直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值為

21

7

．

點評：本題給出直四棱柱，求異面直線、直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了直四棱柱的性質、空間向量等知識，屬于中檔題．