Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1，且n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

2n+1

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n．如果對于任意的n∈N^*，都有T_n＞m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知遞推公式可利用疊加法求解數列的通項公式；
（2）求出數列{b_n}的前n項和為T_n，求出數列的最值即可求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1
∴a₂-a₁=2+1
a₃-a₂=4+1
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1
以上n-1個式子相加可得，a_n-a₁=2+4+…+2n-2+（n-1）=n²-1
∵a₁=1，
∴a_n=n²；
（2）由（1）知b_n=

2n+1

anan+1

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴T_n=（

1

12

-

1

22

）+（

1

22

-

1

32

）+…+（

1

n2

-

1

(n+1)2

）=1-

1

(n+1)2

∴數列{b_n}是遞增數列，
∴最小值為1-

1

(1+1)2

=

3

4

，只需要

3

4

＞m，
∴實數m的取值范圍（-∞，

3

4

）．

點評：本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式以及數列求和的應用，考查了累加法．屬于基本方法的簡單應用