Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）用

AB

，

AC

表示

BN

，

CM

；
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求

BN

•

CM

的值；
（Ⅲ）若BN⊥CM，求cos∠BAC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用向量的三角形法則和共線定理即可得出；
（II）利用數(shù)量積的定義可得

AB

•

AC

=|

AB

| |

AC

|cos∠BAC．再利用數(shù)量積的性質(zhì)可得

BN

•

CM

=(

1

2

AC

-

AB

)•(

1

2

AB

-

AC

)=

5

4

AB

•

AC

-

1

2

AB

2-

1

2

AC

2．
（III）由BN⊥CM，可得

BN

•

CM

=0，再利用（II）和向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：（I）∵M(jìn)，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴

BN

=

BA

+

AN

=-

AB

+

1

2

AC

，

CM

=

AM

-

AC

=

1

2

AB

-

AC

．
（II）∵∠BAC=60°，AB=4，AC=3，
∴

AB

•

AC

=|

AB

| |

AC

|cos∠BAC=4×3×cos60°=6．
由（I）可得

BN

•

CM

=(

1

2

AC

-

AB

)•(

1

2

AB

-

AC

)=

5

4

AB

•

AC

-

1

2

AB

2-

1

2

AC

2=

5

4

×6-

1

2

×42-

1

2

×32=-5．
（III）由（II）可得

BN

•

CM

=

5

4

AB

•

AC

-

1

2

AB

2-

1

2

AC

2．
∵BN⊥CM，∴

BN

•

CM

=0．
∴

5

4

AB

•

AC

-

1

2

×42-

1

2

×32=0，化為

AB

•

AC

=10．
∴10=4×3×cos∠BAC，
∴cos∠BAC=

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、和共線定理、數(shù)量積的定義及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．