Question

【題目】已知數列{an}，滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣2an ， bn=an+1﹣an ，
（1）求證：數列{bn}是等比數列；
（2）求數列{an}的通項公式；．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an+2=3an+1﹣2an，變形為：an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），

又bn=an+1﹣an，∴bn+1=2bn，b1=a2﹣a1=2，

∴數列{bn}是等比數列，首項與公比都為2

（2）解：由（1）可得：bn=an+1﹣an=2n．

∴an+1=（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1

=2n+2n﹣1+…+2+1

= =2n+1﹣1．

∴an=2n﹣1，n=1時也成立

【解析】（1）由an+2=3an+1﹣2an ， 變形為：an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），可得bn+1=2bn ， b1=a2﹣a1=2，即可證明．（2）由（1）可得：bn=an+1﹣an=2n ． 利用“累加求和”方法即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．