Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，S_n是數列{a_nb_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比q，由等差中項的性質及題設條件求出a₃的值，從而求得a₁、q的值；
（Ⅱ）用a_n求得b_n，寫出{a_nb_n}的前n項和S_n，用錯位項減法求S_n的值．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q（q≠0），
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，∴2（a₃+2）=a₂+a₄，即2a₃+4=a₂+a₄；
又a₂+a₃+a₄=28，∴a₃=8，
∴a₂+a₄=

a3

q

+a₃q=

8

q

+8q=20，解得q=

1

2

或q=2；
∴當q=

1

2

時，a₁=32；當q=2時，a₁=2；
又{a_n}是遞增的等比數列，∴只取a₁=2，q=2；
∴{a_n}的通項公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）當a_n=2ⁿ時，b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ⁺¹=n+1；
∴{a_nb_n}的前n項和S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ①，
∴2s_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②；
則②-①得：s_n=-2×2-2²-2³-2⁴-…-2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-

2-2n+1

1-2

-2+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查了等比數列的通項公式與數列求和的錯位項減法等知識，也考查了一定的運算能力，是易錯題．