Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，利用等差中項的性質及題設條件求得a₃的值，進而求得a₂+a₄的值，用a₁和q分別表示出a₂，a₃，a₄，根據題意建立方程組，求得a₁和q的值，則等比數列的通項公式可得．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入b_n=log₂a_n+1，求得b_n的表達式，進而同等差數列的求和公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，將（1）代入得a₃=8．所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

又{a_n}是遞增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
故Sn=

n2+3n

2

．

點評：本題主要考查了等比數列和等差數列的性質．考查了學生對數列基本知識的掌握．