Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，若bn=log₂a_n+1，則數列{b_n}的前n項和S_n=

n(n+3)

2

．

Answer 1

分析：先設等比數列{a_n}的公比為q，然后根據等差中項的性質可用a₁和q分別表示出a₂，a₃，a₄，建立方程組，求得a₁和q的值，則等比數列{a_n}的通項公式，從而求出b_n的表達式，進而求出等差數列的求和公式．

解答：解：設等比數列{a_n}的公比為q，
依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，將（1）代入得a₃=8．所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

又{a_n}是遞增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ，則b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
故 Sn=

n2+3n

2

．
故答案為：

n(n+3)

2

點評：本題主要考查了等差數列的性質，以及等差數列的通項公式和前n項和，同時考查了計算能力，屬于中檔題．