Question

已知遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，S_n是數列{b_n}的前n項和，求使S_n＞42+4n成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，又a₂+a₃+a₄=28，故a₃=8．a₂+a₄=20．由此能夠推導出a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，Sn=

n2+3n

2

．故由題意可得

n2+3n

2

＞42+4n，由此能求出滿足條件的n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，將（1）代入得a₃=8．
所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

（3分）
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

（6分）
又{a_n}是遞增的，故a₁=2，q=2．（7分）
所以a_n=2ⁿ．（8分）
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，Sn=

n2+3n

2

．（10分）
故由題意可得

n2+3n

2

＞42+4n，
解得n＞12或n＜-7．又n∈N^*．（12分）
所以滿足條件的n的最小值為13．（13分）

點評：本題考查數列的性質和綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活地運用公式解答．