Question

【題目】已知點A（0，2），動點M到點A的距離比動點M到直線y＝﹣1的距離大1，動點M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）Q為直線y＝﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值

Answer 1

【答案】（1）x2＝8y；（2）4．

【解析】

（1）確定動點M的軌跡為拋物線，計算得到答案.

（2）設Q（m，﹣1），設切線的斜率為k，計算得到k1+k2，k1k2，得到，計算得到答案.

（1）設動點M（x，y），動點M到點A的距離與動點M到直線y＝﹣2的距離相等，

∴動點M的軌跡為拋物線，且焦點為A，準線為y＝﹣2，

∴曲線C的方程為：x2＝8y；

（2）設Q（m，﹣1），設切線的斜率為k，

則切線方程為：y+1＝k（x﹣m），代入拋物線整理：x2﹣8kx+8km+8＝0，

由△＝0得：64k2＝32（km+1），

∴km＝2k2﹣1，

∴x2﹣8kx+16k2＝0，解得：x＝4k，

∴切點坐標為（4k，2k2），

由2k2﹣km﹣1＝0，得k1+k2，k1k2，

設直線QD與QE的夾角為θ，則tanθ＝||，

則sin2∠QDE＝1﹣cos2∠QDE

.

令切點（4k，2k2）到Q的距離為d，

則d2＝（4k﹣m）2+（2k2+1）2＝16k2﹣8km+m2+（km+2）2＝16k2﹣8km+m2+k2m2+4km+＝（8+m2）（k2+1），

∴|QD|，|QE|，

∴S（8+m2）（8+m2）

4，

∴當m＝0，即Q（0，﹣1）時，△QDE的面積S取得最小值4．