Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求函數在點處的切線方程；

（Ⅱ）設函數的導函數是，若不等式對于任意的實數恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，是函數的導函數，若函數存在兩個極值點，，且，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（Ⅰ）當時，，（1）．，可得（1）．利用點斜式即可得出切線方程．

（Ⅱ），．不等式，化為：．令在上恒成立，（1）．可得在上恒成立，化為：即可得出．

（Ⅲ）根據可得和關于x的函數表達式，根據存在兩個極值點，，可得=0在上有兩個不等實數根，．因此，得出a的取值范圍．并根據，滿足，代入簡化，利用導數研究其單調性即可得出結果．

解：（Ⅰ）當時，，（1）．

，（1）．

曲線在點（1,）處的切線方程為：，化為：．

（Ⅱ），．

不等式，即，化為：．

令在上恒成立，（1）．

在上恒成立，化為：．

的取值范圍是．

（Ⅲ）設函數，

，．

存在兩個極值點，，

在上有兩個不等實數根，．

因此，且，．

解得．

，，滿足，

．

化為：．

，．

化為：，

令（a），，（1）．

，

（a）在上單調遞增，

．

實數的取值范圍是．