Question

【題目】分別為菱形的邊的中點，將菱形沿對角線折起，使點不在平面內，則在翻折過程中，以下命題正確的是___________.（寫出所有正確命題的序號）

①平面；②異面直線與所成的角為定值；③在二面角逐漸漸變小的過程中，三棱錐的外接球半徑先變小后變大；④若存在某個位程，使得直線與直線垂直，則的取值范圍是.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①由，可得證；②取AC中點P，可證得平面DPB，可得正；③ 借助極限狀態，當平面DCA與平面BCA重合時，三棱錐的外接球即為以三角形ABC的外接圓為圓心，半徑為半徑的球，二面角不為0時，外接圓的半徑一定大于此半徑，不正確. ④

過A在平面ABC中作交BC于H，分析H點在BC上的位置，可得證.

①由分別為菱形的邊的中點，故，平面ABD，故平面；

②取AC中點P，連接DP，BP，由于菱形ABCD，所以，可證得平面DPB，故，又，故，異面直線與所成的角為定值.

③ 借助極限狀態，當平面DCA與平面BCA重合時，三棱錐的外接球即為以三角形ABC的外接圓為圓心，半徑為半徑的球，當二面角變大時球心離開平面ABC，但球心在平面ABC的投影仍然為三角形ABC的外接圓的圓心，故二面角不為0時，外接球半徑一定大于三角形ABC的外接圓半徑，故三棱錐的外接球半徑不可能先變小后變大.

④

過A在平面ABC中作交BC于H，若為銳角，H在線段BC上；若為直角，H與B點重合；為鈍角，H在線段BC的延長線射線CB上.

若存在某個位程，使得直線與直線垂直，由于，因此平面AHD，

故.

若為直角，H與B點重合，即，由于，不可能成立.

若為鈍角，則原平面圖中，為銳角，由于立體圖中，故立體圖中一定比原圖中更小，因此為銳角，，故H在線段CB上，與H在線段BC的延長線射線CB上矛盾，因此的取值范圍是.

故答案為：①②④