Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線的斜率的乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若，判斷直線的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為定值

【解析】

（1）利用斜率乘積為，，可構(gòu)造出方程組，求解得到和，從而可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得關(guān)于的一元二次方程；利用判別式大于零可求得的取值范圍；利用韋達(dá)定理表示出和；根據(jù)，可得到；利用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，代入韋達(dá)定理整理得到，解方程可求得結(jié)果.

（1）由題意知：，又，

可得：，，

橢圓的方程為：

（2）設(shè)直線的方程為：

將其代入，整理可得：

則，得：

設(shè)，

則，

又，且

又，

所以

又，

化簡(jiǎn)得：，解得：

直線的斜率為定值