Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，設直線與軸的交點為，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點.

（1）若直線的傾斜角為，求的值；

（2）設直線交直線于點，證明：直線.

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）設，根據圖形可知，直線的方程為，代入橢圓方程得到根與系數的關系，，這樣可求得三角形的面積；（2）設直線的方程為與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，再根據三點共線，那么,得到坐標間的關系，若，即說明.

試題解析：由題意，知，．．．．．．．．．1分

（1）∵直線的傾斜角為，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴直線的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

代入橢圓方程，可得．

設．∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴．．．．．．．．．．．．6分

（2）設直線的方程為．

代入橢圓方程，得．

設，則．．．．．．．．．．．．．．．8分

設，∵三點共線，

∴有，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

而

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

∴直線軸，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分