【題目】已知函數
，其中
.
（1）設
是函數
的極值點，討論函數的單調性；
（2）若
有兩個不同的零點
和
，且
，
（i）求參數
的取值范圍；
（ii）求證：
.
【答案】（1）見解析；（2）（i）
，（ii）見解析.
【解析】
（1）求函數導數，由
可得解，進而得單調區間；
（2）（i）分析函數導數可得函數單調性，結合
，所以
，可得解；
（ii）先證當
時，若
，得存在
，進而證
，再證時，
，可得
，構造函數
，利用函數單調性即可證得.
（1）
，
若
是函數
的極值點，則，得
，經檢驗滿足題意，
此時
，
為增函數，
所以當
，單調遞減；
當
，單調遞增
（2）（i）
， ，
記
，則
，
知在區間
內單調遞增.
又∵
， 
，
∴在區間
內存在唯一的零點
，
即
，于是
， 
.
當
時， 
單調遞減；
當
時， 
單調遞增.
若
有兩個不同的零點
和
，且
，
易知，所以，解得.
（ii）當時有
，令.
由（i）中的單調性知，存在，當
.
，所以.
下證當時，.
由
，
所以
，
由（i）知，當
，得
..
所以
，令
要證
，即證
.
令
單調遞增，且
，
所以
單調遞增，所以
.得證.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數，
）以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）設曲線和交于
，
兩點，點
，若
，
，
成等比數列，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在菱形
中，
，
為線段
的中點（如圖1）．將
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
，
為線段
的中點（如圖2）．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）當四棱錐
的體積為
時，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中,直線
的參數方程為
(
為參數),在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位,且以原點
為極點,以
軸正半軸為極軸)中,圓
的方程
,
（1）求直線和圓的直角坐標方程;
（3）設圓與直線交于點
、
,若點
的坐標為
,求
,
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校藝術專業300名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)從總體的300名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，左、右焦點為
，點
在橢圓
上，且點
關于原點對稱，直線
的斜率的乘積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
經過點
，且與橢圓交于不同的兩點
，若
，判斷直線的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“克拉茨猜想”又稱“
猜想”，是德國數學家洛薩克拉茨在1950年世界數學家大會上公布的一個猜想：任給一個正整數
，如果是偶數，就將它減半；如果為奇數就將它乘3加1,不斷重復這樣的運算，經過有限步后，最終都能夠得到1.己知正整數
經過6次運算后得到1，則的值為__________．
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