Question

如圖，設F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點，MN為橢圓的長軸，P為橢圓C上一點，且

|PF|

∈[2，6]．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點Q（-8，0），
①求證：對于任意的割線QAB，恒有∠AFM=∠BFN；
②求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

6+2=2a 6-2=2c a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）①設l_AB：x=my-8，A（x₁，y₁），A（x₂，y₂），由

x=my-8 x2 16 + y2 12 =1

，得（3m²+4）y²-48my+144=0．由此利用根的判別式、韋達定理結合已知條件推導出對于任意的割線QAB，恒有∠AFM=∠BFN．
②S_△ABF=S_△QBF-S_△QAF=

1

2

|QF|•|y2-y1|=

72 m2-4

3m2+4

，由此利用均值不等式能求出三角形△ABF面積的最大值是3

3

．

解答： （本題滿分13分）
（Ⅰ）解：∵設F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點，
MN為橢圓的長軸，P為橢圓C上一點，且

|PF|

∈[2，6]．
∴

6+2=2a 6-2=2c a2=b2+c2

，解得a=4，c=2，b²=16-4=12，
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）①證明：由題意知直線AB斜率存在．
當AB的斜率為0時，∠AFM=∠BFM=0，滿足題意，
當AB的斜率不為0時，設l_AB：x=my-8（m≠0），A（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
由

x=my-8 x2 16 + y2 12 =1

，得（3m²+4）y²-48my+144=0．
∴△=48²m²-4×12²（3m²+4）=24²（m²-4）＞0，解得m²＞4，
y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+3

．
則 kAF+kBF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

y1(my2-6)+y2(my1-6)

(my1-6)(my2-6)

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

，
又2my₁y₂-6（y₁+y₂）=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0，∴k_AF+k_BF=0，
從而∠AFM=∠BFN．
綜合可知：對于任意的割線QAB，恒有∠AFM=∠BFN．
②解：S_△ABF=S_△QBF-S_△QAF=

1

2

|QF|•|y2-y1|=

72 m2-4

3m2+4

=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3 •16

=3

3

，
當且僅當3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

（此時適合于△＞0的條件）時取等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是3

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩角相等的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式和均值定理的合理運用．