Question

如圖，在邊長為3等邊三角形ABC中，點P為線段AB上一點，且

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），設

CA

=a，

CB

=b．
（1）若λ=

1

3

，試用a，b表示

CP

并求|

CP

|；
（2）若

CP

•

AB

≥

PA

•

PB

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量的三角形法則、數量積運算性質即可得出；
（2）利用向量的三角形法則和數量積定義、一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）當λ=

1

3

時，

AP

=

1

3

AB

，

CP

=

CA

+

AP

=

CA

+

1

3

AB

=

CA

+

1

3

(

CB

-

CA

)=

1

3

CB

+

2

3

CA

=

1

3

b

+

2

3

a

．
∵

a

•

b

=3×3×cos60°=

9

2

．
∴|

CP

|=

4 9 a 2+ 1 9 b 2+ 4 9 a • b

=

4 9 ×32+ 1 9 ×32+ 4 9 × 9 2

=

7

．
（2）∵

CP

=

CA

+

AP

=

CA

+λ

AB

，

PB

=

PA

+

AB

=

AB

-

AP

=(1-λ)

AB

，
∴

CP

•

AB

≥

PA

•

PB

，化為(

CA

+λ

AB

)•

AB

≥-λ

AB

•(1-λ)

AB

，
∴

CA

•

AB

+λ

AB

2≥λ(λ-1)

AB

2，
∴3×3×cos120°+9λ≥9λ（λ-1），
化為2λ²-4λ+1≤0，及0≤λ≤1．
解得

2- 2

2

≤λ≤1．
∴實數λ的取值范圍是[1-

2

2

，1]．

點評：本題考查了向量的三角形法則、數量積運算性質、向量的三角形法則和數量積定義、一元二次不等式的解法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．