Question

【題目】如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）4

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接、，證明平面平面得到答案.

（2）以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系．平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.

（3）設(shè)，則，，，利用夾角公式計(jì)算得到答案.

（1）取中點(diǎn)，連接、，∵為中點(diǎn)，∴，

∵平面，平面，∴平面．

∵為中點(diǎn)，∴，

又、分別為、的中點(diǎn)，∴，則．

∵平面，平面，∴平面．

又，平面，平面

∴平面平面，又平面，則平面．

（2）∵底面，．

∴以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵，，

∴，，，，，，

則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，取，得．

由圖可得平面的一個(gè)法向量為．

∴．

∴二面角的余弦值為，則正弦值為．

（3）設(shè)，則，，．

∵直線與直線所成角的余弦值為，∴．

解得：或（舍）．

∴當(dāng)與重合時(shí)直線與直線所成角的余弦值為，此時(shí)線段的長(zhǎng)為4．