Question

【題目】已知等比數列的首項，數列前項和記為，前項積記為.

(1) 若，求等比數列的公比；

(2) 在(1)的條件下，判斷與的大小；并求為何值時，取得最大值；

(3) 在(1)的條件下，證明：若數列中的任意相鄰三項按從小到大排列，則總可以使其成等差數列；若所有這些等差數列的公差按從小到大的順序依次記為，則數列為等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），當時,最大；（3）證明見解析.

【解析】

（1），求和通項公式；

（2）根據定義可知，然后根據公式求，即時的最大值，再根據，判斷的最大值；

（3）由（1）可知當為奇數時，中的任意相鄰三項由小到大排列是，若成等差數列，可求是否成立，并求公差，當是偶數時,設中的任意相鄰三項按從小到大排列為，判斷是否成等差數列，并求公差，并按定義判斷數列是否為等比數列

(1) ，解得，；

(2).又,

當時,；當時,.當時,取得最大值,

又,∴的最大值是和中的較大者,

又，.因此當時,最大.

(3),隨增大而減小,奇數項均正,偶數項均負,

①當是奇數時,設中的任意相鄰三項按從小到大排列為,

則,,

,因此成等差數列,

公差；

②當是偶數時,設中的任意相鄰三項按從小到大排列為,

則,.

∴,因此成等差數列,

公差,

綜上可知,中的任意相鄰三項按從小到大排列,總可以使其成等差數列,

且, ∵,∴數列為等比數列.