Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，C、D兩點的坐標為,曲線上的動點P滿足.又曲線上的點A、B滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若點A在第一象限，且，求點A的坐標；

（3）求證：原點到直線AB的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）由，知，曲線是以、為焦點，長軸的橢圓，即可求曲線的方程（2）設直線的方程為，則直線的方程為，與橢圓方程聯立，由知，即可求點的坐標（3）分類討論，設直線的方程，與橢圓方程聯立，求出原點到直線的距離，即可證明原點到直線的距離為定值．

（1）由，知，曲線E是以C、D為焦點，長軸的橢圓，

設其方程為，則有，

∴曲線E的方程為

（2）設直線OA的方程為，則直線OB的方程為

由則得，解得

同理，由則解得.

由知，

即

解得，因點A在第一象限，故，

此時點A的坐標為

（3）設，，

當直線AB平行于坐標軸時，由知A、B兩點之一為與橢圓的交點，

由

解得，

此時原點到直線AB的距離為，

當直線AB不平行于坐標軸時，設直線AB的方程，

由得

由得

即

因

代入得即

原點到直線AB的距離.