Question

【題目】設雙曲線方程為，過其右焦點且斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點，直線的方程為，A，B在直線上的射影分別為C，D.

（1）當垂直于x軸，時，求四邊形的面積；

（2），的斜率為正實數，A在第一象限，B在第四象限，試比較與1的大小；

（3）是否存在實數，使得對滿足題意的任意，直線和直線的交點總在軸上，若存在，求出所有的值和此時直線和交點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，此時兩直線的交點為．

【解析】

（1））當垂直于x軸，直線方程為，四邊形為矩形，將代入雙曲線方程，求出坐標，得出，即可求解；

（2）設的方程為，，設兩點的縱坐標分別為，將的方程與雙曲線方程聯立，得到關于的方程，根據韋達定理得出關系，結合，,，將根據線段長公式化簡,

再利用點在雙曲線上可得，由,

即可得出結論；

（3）設，，則，，求出直線和直線的方程，利用兩條直線相交在軸上，可得，將關系，代入，得對一切都成立，有，求出交點的橫坐標，即可求解.

（1）右焦點的坐標為．故．

聯立解得．故，

又，故四邊形的面積為；

（2）設的方程為，這里．

將的方程與雙曲線方程聯立，得到

，即．

由知，此時，

由于，故，

即，故，因此；

（3）由（2）得．（有兩交點表示）

設，，則，．

的絕對值不小于，故，且．

又因直線斜率不為零，故．

直線的方程為．

直線的方程為．

若這兩條直線的交點在軸上，則當時，

兩方程的應相同，即

．

故，

即．

現，，

代入上式，得對一切都成立．

即，．

此時交點的橫坐標為

．

綜上，存在，，此時兩直線的交點為．