Question

已知直線l的方程為kx-y-k+3=0，若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，設△ABO的面積為S，當S取得最小值時，求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：由直線l的方程，求出l與x軸、y軸的正半軸的交點A、B的坐標，計算△ABO的面積S取得最小值時k的值，從而得出直線l的方程．

解答： 解：∵直線l的方程為kx-y-k+3=0，
且l與x軸、y軸的正半軸分別交于A（

k-3

k

，0）、B（0，-k+3）兩點，
∴

-k+3＞0 k-3 k ＞0

，即k＜0；
∴△ABO的面積為S=

1

2

•

k-3

k

•（-k+3）
=

1

2

•

-k2+6k-9

k

=

1

2

（-k-

9

k

+6）≥

1

2

（2

-k•(- 9 k )

+6）=6，
當且僅當k=-3時S取得最小值；
此時直線l的方程為-3x-y+3+3=0，
即3x+y-6=0．

點評：本題考查了直線方程的應用問題，解題時應根據直線方程求出交點坐標，得出三角形的面積表達式，求出最小值時k的值，就可以寫出所求的直線方程．