Question

已知f（x）=sin2x-2sin²x
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時x取值的集合；
（2）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，根據是正弦函數的性質求得函數的最大值，及此時x的集合．
（2）利用正弦函數的單調性求得函數的單調增區間．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x-1+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

時，即x=kπ+

π

8

時，k∈Z，函數有最大值

2

-1．
∴函數的最大值為

2

-1，此時x的集合為{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（2）當2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

時，k∈Z，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
∴f（x）的單調遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生對數形結合思想的運用．