Question

已知在（

x

+

3	x

）ⁿ（其中n＜15）的展開式中：
（1）求二項式展開式中各項系數之和；
（2）若展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數成等差數列，求n的值；
（3）在（2）的條件下寫出它展開式中的有理項．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）由二項式系數即為該項的系數，再由二項式系數的性質，即可得到；
（2）由展開式中的通項，得到各項的二項式系數，再由等比數列的性質，結合組合數公式，化簡整理，解方程即可求出n；
（3）寫出通項，化簡整理，判斷r是6的倍數，又0≤r≤14，列舉出所有的有理項即可．

解答： 解：（1）∵二項展開式中各項的系數就是各項的二項式系數

C

0 n

，

C

1 n

，

C

2 n

，…，

C

n n

，
∴各項系數之和為

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

=2n
（2）(

x

+

3	x

)n（其中n＜15）的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數分別是

C

8 n

，

C

9 n

，

C

10 n

．
依題意得

C

8 n

+

C

10 n

=2

C

9 n

，
寫成：

n!

8!(n-8)!

+

n!

10!(n-10)!

=2•

n!

9!(n-9)!

，
化簡得90+（n-9）（n-8）=2•10（n-8），
即：n²-37n+322=0，解得n=14或n=23，
∵n＜15，∴n=14．
（2）展開式的通項Tr+1=

C

r 14

x

14-r

2

x

r

3

=

C

r 14

x

42-r

6

∴展開式中的有理項當且僅當r是6的倍數，又0≤r≤14，
∴展開式中的有理項共3項是：r=0，T1=

C

0 14

x7=x7；r=6，T7=

C

6 14

x6=164x6；r=12，T13=

C

12 14

x5=91x5

點評：本題主要考查二項式定理的運用，注意運用通項公式求某一項，區別二項式系數與某一項的系數，注意隱含條件的運用，考查組合數的公式及指數的運算，屬于中檔題．