Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OP的斜率k=f（x）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

t

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）求證：

n

i=1

ln[i•（i+1）]＞n-2（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意k=f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，∴f′（x）=-

lnx

x2

，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．故f（x）在x=1處取得極大值．列出方程組從而解得

2

3

＜m＜1；
（2）由f（x）≥

t

x+1

得t≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，從而g′（x）=

x-lnx

x2

，令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-

1

x

=

1-x

x

，因?yàn)閤≥1，所以h′（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．所以h（x）≥h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=2，容易求出t的范圍；
（3）由（2）得：f（x）≥

2

x+1

恒成立，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

?lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

．令x=n（n+1），則ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，從而

n

i=1

ln[i(i+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2，故

n

i=1

ln[i（i+1）]＞n-2，（n∈N^*）．

解答： 解：（Ⅰ）由題意k=f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，∴f′（x）=-

lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
故f（x）在x=1處取得極大值．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

3

）（其中m＞0）上存在極值，
∴

0＜m1 m+ 1 3＞1

，解得：

2

3

＜m＜1，
即實(shí)數(shù)m的范圍是（

2

3

，1）．
（2）由f（x）≥

t

x+1

得t≤

(x+1)(1+lnx)

x

，
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
∴g′（x）=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-

1

x

=

1-x

x

，
因?yàn)閤≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h（x）≥h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=2，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，2]．
（3）由（2）得：f（x）≥

2

x+1

恒成立，
即

1+lnx

x

≥

2

x+1

?lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

．
令x=n（n+1），則ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

∴l(xiāng)n（1×2）＞1-

2

1×2

，1n（2×3）＞1-

2

2×3

，…，lnn（n+1）＞1-

2

n(n+1)

．
將以上n個(gè)式子相加得：

n

i=1

ln[i(i+1)]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2，
故

n

i=1

ln[i（i+1）]＞n-2，（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的范圍，以及不等式的證明問題，是一道綜合題．