Question

設函數f（x）=ln

x+1

2

+

1-x

a(x+1)

（a＞0）•
（Ⅰ）若函數f（x）在區間（2，4）上存在極值，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）在[1，﹢∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當n∈N^*且n≥2時，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：對于（Ⅰ）（Ⅱ）先求出函數f（x）的導數，找到函數的極小值，解不等式組求出即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：當a=1時，f（x）=ln

x+1

2

+

1-x

x+1

在[1，+∞）遞增，取-

1-x

x+1

=

1

n

，則x=

n+1

n-1

＞1，

x+1

2

=

n

n-1

，得ln

n

n-1

＞

1

n

（n≥2），從而有

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=lnn．

解答： 解：f′（x）=

1

x+1

+

-2

a(x+1)2

=

x-( 2 a -1)

(x+1)2

，（x＞-1），
∴f（x）在（-1，

2

a

-1）遞減，在（

2

a

-1，+∞）遞增，
∴f（x）在x=

2

a

-1處取到極小值；
（Ⅰ）由題意得：

2＜ 2 a -1＜4 a＞0

，
∴

2

5

＜a＜

2

3

；
（Ⅱ）由題意得：

2 a -1≤1 a＞0

，
∴a≥1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：當a=1時，f（x）=ln

x+1

2

+

1-x

x+1

在[1，+∞）遞增，
∴x＞1時，有f（x）＞f（1）=0，即ln

x+1

2

＞-

1-x

x+1

，（x＞1），
取-

1-x

x+1

=

1

n

，則x=

n+1

n-1

＞1，

x+1

2

=

n

n-1

，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

（n≥2），
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

=lnn，
∴結論成立．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，解不等式，以及不等式的證明，是一道綜合題．