Question

設函數f（x）=a（x-

1

x

）-lnx
（Ⅰ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設函數g（x）=

e

x

，若對任意x₁∈[1，e]都存在x₂∈[1，e]使g（x₁）＜f（x₂）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）要使函數f（x）在其定義域內為增函數，只需函數f′（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，即a（1+

1

x2

）-

1

x

≥0在區間（0，+∞）上恒成立，然后利用分離參數法，轉化為求函數的最值，即可求得實數k的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意x₁∈[1，e]都存在x₂∈[1，e]使g（x₁）＜f（x₂）成立，即當x∈[1，e]，函數f（x）的最大值大于g（x）的最大值，分別求出兩個函數的最大值，可得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），
要使函數f（x）在其定義域內為增函數，只需函數f′（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，
即a（1+

1

x2

）-

1

x

≥0在區間（0，+∞）上恒成立，
即a≥

x

x2+1

在區間（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

x

x2+1

，x∈（0，+∞），
g（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，當且僅當x=1時取等號，
∴a≥

1

2

；
（Ⅱ）∵函數f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
∴f′（x）=a（1+

1

x2

）-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．
a＜

1

2

時，不符合題意；
a≥

1

2

時，函數f（x）在[1，e]內為增函數，f（x）_max=f（e）=a（e-

1

e

）-1；
∵g（x）=

e

x

，
∴g′（x）=-

e

x2

，
∴函數g（x）在[1，e]上單調遞減，
∴g（x）_max=g（1）=e，
∴a（e-

1

e

）-1≥e，
∴a≥

e

e-1

．

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，其中將已知轉化為當x∈[1，e]，函數f（x）的最大值大于g（x）的最大值是解答的關鍵．