Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角C-SA-D的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接BD，證明AC⊥平面SBD，即可證明AC⊥SB；
（2）設SA的中點為E，連接DE、CE，證明∠CED是二面角C-SA-D的平面角，即可求二面角C-SA-D的大小．

解答： （1）證明：連接BD，
∵SD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥SD    …（4分）
又四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC⊥平面SBD
∴AC⊥SB．…（6分）
（2）解：設SA的中點為E，連接DE、CE，
∵SD=AD，CS=CA，
∴DE⊥SA，CE⊥SA．
∴∠CED是二面角C-SA-D的平面角．…（9分）
∵SD=AD=2，
∴DE=

2

，CE=

6

，CD=2，
∴CD⊥DE，
∴cos∠CED=

3

3

，
∴∠CED=arccos

3

3

∴所求二面角的大小為arccos

3

3

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．