Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)．證明A1 ， C1 ， F，E四點(diǎn)共面，并求直線CD1與平面A1C1FE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則A1（2，0，1），C1（0，2，1），E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）．D1（0，0，1），
∴ =（﹣1，1，0）， =（﹣2，2，0）．
∴ =2 ．∵A1 ， C1 ， E，F(xiàn)四點(diǎn)不共線，
∴A1C1∥EF，
∴A1 ， C1 ， F，E四點(diǎn)共面．
=（0，1，﹣1）， =（0，﹣2，1）．
設(shè)平面A1C1FE的法向量為 =（x，y，z），則 ．
∴ ，令z=1得 =（1，1，1）．
∴cos＜ ， ＞= = =﹣ ．
∴直線CD1與平面A1C1FE所成角的正弦值為 ．

【解析】以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出 和 的坐標(biāo)，利用向量共線定理得出四點(diǎn)共面，求出 和平面A1C1FE的法向量 ，則直線CD1與平面A1C1FE所成角的正弦值為|cos＜ ， ＞|．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．