Question

【題目】在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與、不重合），則下列結論正確的個數為（ ）

①存在點，使得平面平面；

②存在點，使得平面；

③若的面積為，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點，使得.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質定理，可得判定②正確；由三角形的面積公式，可求得的面積為的范圍，可判定③錯誤；由三角形的面積公式，得到的范圍，可判定④正確.

連接，設平面與對角線交于，

由，可得平面，即平面，

所以存在點，使得平面平面，所以①正確；

由，

利用平面與平面平行的判定，可得證得平面平面，

設平面與交于，可得平面，所以②正確；

連接交于點，過點作,

在正方體中，平面，所以，

所以為異面直線與的公垂線，

根據，所以，即，

所以的最小面積為.

所以若的面積為，則，所以③不正確；

再點從的中點向著點運動的過程中，從減少趨向于0，即，

從增大到趨向于，即，在此過程中，必存在某個點使得，

所以④是正確的.

綜上可得①②④是正確的.

故選：C.