Question

【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口是的中點，分別落在線段上．已知米，米，記．

（1）試將污水凈化管道的長度表示為的函數，并寫出定義域；

（2）若，求此時管道的長度；

（3）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．

Answer 1

【答案】(1)，．(2) 米 (3)或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為米

【解析】

根據直角三角形表示，，，即得結果，根據同角三角函數關系求得，即得結果，利用同角三角函數關系，將函數轉化為一元函數，根據單調性得結果.

解：，，．

由于，，

所以，所以．所以，．

當時，，

米．

，設，則，

所以．由于，所以．

由于在上單調遞減，

所以當，即或時，L取得最大值米

答：當或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為米