Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，底面ABCD，F為BE的中點，．

（1）求證：平面ACF；

（2）求BE與平面ACE的所成角的正切值；

（3）在線段EO上是否存在點G，使CG平面BDE ?若存在，求出EG：EO的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）；（3）1：2.

【解析】

（1）連接OF,根據三角形中位線得線線平行，再根據線面平行判定定理得結果，（2）先根據線面垂直得線面角，再解直角三角形得結果，（3）取EO中點G，利用面面垂直判定與性質定理證得結果.

(1)連接OF.由ABCD是正方形可知，點O為BD中點.

又F為BE的中點，所以OF∥DE.

又OF面ACF，DE面ACF，

所以DE∥平面ACF.

(2)證明：由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD，

∴EC⊥BD，

由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，

又AC∩EC=C,AC、E平面ACE,

∴BD⊥平面ACE，即就是所求角，

因為

故所正切值為.

(3)在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE.理由如下：

取EO中點G，連接CG，

在四棱錐EABCD中,AB=2√CE,CO=2√2AB=CE，

∴CG⊥EO.

由(2)可知，BD⊥平面ACE，而BD平面BDE，

∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，

∵CG⊥EO，CG平面ACE，

∴CG⊥平面BDE

故在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE.

由G為EO中點,得EG：EO=1：2.