Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），且直線的斜率成等比數列，證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：

（1）根據橢圓的離心率和所過的點得到關于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設直線的方程為，與橢圓方程聯立后消元可得二次方程，根據二次方程根與系數的關系可得直線的斜率，再根據題意可得，根據此式可求得，為定值．

試題解析：

（1）由題意可得，解得．

故橢圓的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，

由，消去整理得，

∵直線與橢圓交于兩點，

∴．

設點的坐標分別為，

則，

∴．

∵直線的斜率成等比數列，

∴，

整理得，

∴，

又，所以，

結合圖象可知，故直線的斜率為定值．