Question

【題目】已知圓，點，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標(biāo).

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設(shè)所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，

當(dāng)為圓與軸左交點時，；

當(dāng)為圓與軸右交點時，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

設(shè)，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)時，求的最大值，并推斷方程是否有實數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

Answer 1

【答案】(1)，方程沒有實數(shù)解；(2).

【解析】試題分析：

（1）當(dāng)時，，.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得.

構(gòu)造函數(shù)，則，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，，據(jù)此可得方程沒有實數(shù)解.

（2）由題意可得，，.據(jù)此分類討論有：

①若，在上為增函數(shù)，不合題意.

②若，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，.令，可得.

綜上可得.

試題解析：

（1）∵，∴.

當(dāng)時，，.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.∴.

又令，，令，得.

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，

∴，∴，∴，即，

∴方程沒有實數(shù)解.

（2）∵，，∴.

①若，則，在上為增函數(shù)，∴不合題意.

②若，則由 ，即，由 ，即.

從而在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴.

令，則，∴，即.

∵，∴為所求.