Question

【題目】已知圓 ，點，以線段為直徑的圓內切于圓，記點的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）直線交圓于，兩點，當為的中點時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的標準方程和幾何性質等基礎知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、讀圖能力、運算求解能力. 第一問，設AB的中點為M，切點為N，連OM，MN，先利用半徑長得出|OM|＋|MN|＝2，再利用中位線轉化邊，得|AB|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4，得到橢圓的定義，從而得到a，b，c的值，寫出橢圓的方程；第二問，利用OB⊥CD，利用向量垂直的充要條件，得到坐標關系，再結合橢圓方程，可解出，從而得到直線AB的斜率，得到直線AB的方程.

試題解析：（Ⅰ）設AB的中點為M，切點為N，連OM，MN，則

|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A關于y軸的對稱點A，

連AB，故|AB|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．

所以點B的軌跡是以A，A為焦點，長軸長為4的橢圓．

其中，a＝2，，b＝1，則

曲線Γ的方程為． 5分

（Ⅱ）因為B為CD的中點，所以OB⊥CD，

則．設B(x0，y0)，

則． 7分

又解得，．

則kOB＝，kAB＝ ， 10分

則直線AB的方程為，即

或． 12分