Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，點D是AB的中點．

（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；

（2）求證：AC1∥平面CDB1．

Answer 1

【答案】（1） 見解析（2）見解析

【解析】

（1）欲證CD⊥平面A1ABB1，可先證平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，滿足根據面面垂直的性質；

（2）欲證AC1∥平面CDB1，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AC1與平面CDB1內一直線平行，連接BC1，設BC1與B1C的交點為E，連接DE．根據中位線可知DE∥AC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，滿足定理所需條件．

（1）證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴平面ABC⊥平面A1ABB1．

∵AC=BC，點D是AB的中點，

∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB

∴CD⊥平面A1ABB1．

（2）證明：連接BC1，設BC1與B1C的交點為E，連接DE．

∵D是AB的中點，E是BC1的中點，

∴DE∥AC1．∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．