Question

【題目】已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求的單調區間；

（3）設，其中為的導函數．證明：對任意，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調遞增區間是，單調遞減區間是；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求導可得 ；（2）由（1）知，．設,再利用導數工具進行求解；（3）由（2）可知，當時，，故只需證明在時成立,再利用導數工具進行證明．

試題解析：（1），由已知，，．

（2）由（1）知，．

設，則，即在上是減函數，

由知，當時，從而，

當時，從而，

綜上可知，的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（3）由（2）可知，當時，，

故只需證明在時成立．

當時，，且，．

設，，則 ，

當時，，當時，，

所以當時，取得最大值．

所以．

綜上，對任意，．