Question

【題目】已知函數f（x）=a﹣ （a∈R）
（1）判斷函數f（x）的單調性并給出證明；
（2）若函數f（x）是奇函數，則f（x）≥ 當x∈[1，2]時恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不論a為何實數，f（x）在定義域R上單調遞增．

下面給出證明：設x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵x1＜x2，∴0＜ ＜ ，

∴ ＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在定義域R上單調遞增

（2）解：∵函數f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0，可得f（0）=a﹣ =0，解得a=1．

∵f（x）≥ 當x∈[1，2]時恒成立，∴3x﹣ ×3x≥m，即m≤3x+1+ ﹣2的最小值，

設3x+1=t∈[4，10]．則g（t）=t+ ﹣2，g′（t）=1﹣ ＞0，

∴函數g（t）在t∈[4，10]上單調遞增，

∴g（t）min=g（4）= ，

∴m≤ ，此時x=1．即m的最大值是

【解析】（1）不論a為何實數，f（x）在定義域R上單調遞增．下面給出證明分析：設x1＜x2 ， 利用指數函數的單調性只要證明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．（2）由函數f（x）是R上的奇函數，可得f（0）=0，解得a=1．由f（x）≥ 當x∈[1，2]時恒成立，可得3x﹣ ×3x≥m，即m≤3x+1+ ﹣2的最小值，設3x+1=t∈[4，10]．則g（t）=t+ ﹣2，利用導數研究函數的單調性即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．