Question

【題目】已知函數（為常數）的圖象在處的切線方程為.

（1）判斷函數的單調性；

（2）已知，且，若對任意，任意， 與中恰有一個恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減.（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數的定義域，利用列方程組，可求得，代回函數的導函數可得函數導數恒小于零，故函數在定義域上遞減.（2）由（1）知函數在上的最小值為，最大值為，故原不等式等價于或，分離常數得，或對任意恒成立，利用導數求得的最大值，利用二次函數求最值的方法求得的最小值，由此可求得的取值范圍.

試題解析：（1）∵函數的定義域為，

∴，由條件得，

把代入得，∴，即， .

∴， .

∵，∴，∴在上單調遞減.

（2）由（1）知， 在上單調遞減，

∴在上的最小值為，最大值為，

∴只需或，

即或對任意恒成立.

令，則，

令得，而恒成立，

∴當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.

∴的最大值為.而， ，顯然，

∴在上的最大值為，又，

∴或，即或.

∴實數的取值范圍是.