Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（ ， ）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M． ①設直線OM的斜率為k1 ， 直線BP的斜率為k2 ， 求證：k1k2為定值；
②設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意橢圓E： =1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（ ， ），

∴c=1，

∴解得a=2，b= ，

∴橢圓E的標準方程為

（2）解：①設P（x0，y0）（y0≠0），

則直線AP的方程為：y= （x+2）

令x=2得M（2， ）

∴k1= ，

∵k2= ，

∴k1k2= ，

∵P（x0，y0）在橢圓上，∴ =1

∴k1k2=﹣ 為定值．

②直線BP的斜率為 ，直線m的斜率為km= ，

則直線m的方程為y= （x﹣2）+y0= （x﹣2）+ = （x+1），

所以直線m過定點（﹣1，0）

【解析】（1）由題意c=1， ，解出即可；（2）①設P（x0 ， y0）（y0≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點M的坐標，利用斜率計算公式即可得出k1 ， k2 ， 再利用點P在橢圓上即可證明．②利用直線的點斜式及其①的有關結論即可證明．