Question

【題目】如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中點．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求直線BE與PA所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，且PA=AB=a，

∴△PBC，△PDC都是等邊三角形，

∵E是棱PC的中點，

∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E，

∴PC⊥平面BDE

又BD平面BDE，

∴PC⊥BD

（2）解：連接AC，交BD于點O，連OE．

四邊形ABCD為正方形，∴O是AC的中點

又E是PC的中點

∴OE為△ACP的中位線，∴AP∥OE

∴∠BOE即為BE與PA所成的角

在Rt△BOE中，BE= ，EO= ，

∴ ．

∴直線BE與PA所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出△PBC，△PDC都是等邊三角形，從而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能證明PC⊥BD．（2）連接AC，交BD于點O，連OE，則AP∥OE，∠BOE即為BE與PA所成的角，由此能求出直線BE與PA所成角的余弦值．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；垂直于同一個平面的兩條直線平行．